Vitenskap
0

Hva er primtall? – Definisjon, liste og eksempler

Hva er primtall? – Definisjon, liste og eksempler

Kort svar

Et primtall er et naturlig tall større enn 1 som kun er delelig med to tall: 1 og seg selv.

Eksempler: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 … Det finnes 25 primtall under 100. Det finnes uendelig mange primtall totalt.

Rask huskeregel

Primtall = deles bare på 1 og seg selv.

7 → deles på 1 og 7 ✓ primtall.   8 → deles på 1, 2, 4 og 8 ✗ ikke primtall.

1 er ikke et primtall (bare én divisor). 2 er det eneste partallsprimtallet.

Hva er et primtall?

Et primtall er et naturlig tall større enn 1 som kun har to positive divisorer: 1 og seg selv. Det betyr at det ikke kan deles inn i jevne deler uten rest.

  • 7 er primtall – deles bare på 1 og 7
  • 8 er ikke primtall – deles på 1, 2, 4 og 8
  • 13 er primtall – deles bare på 1 og 13
  • 15 er ikke primtall – 15 = 3 × 5

Tall som ikke er primtall (og er større enn 1) kalles sammensatte tall. Alle sammensatte tall kan skrives som et produkt av primtall – dette kalles primtallsfaktorisering:

  • 12 = 2 × 2 × 3
  • 30 = 2 × 3 × 5
  • 100 = 2 × 2 × 5 × 5

Primtallene fra 1 til 100

Her er alle tall fra 1 til 100. Blå = primtall (25 stk) · Grå = sammensatte tall · Gult = 1 (verken/eller)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100

Slik sjekker du om et tall er et primtall – steg for steg

Fremgangsmåte

1
Er tallet ≤ 1? Ikke et primtall. (1, 0 og negative tall er ikke primtall)
2
Er tallet 2 eller 3? Primtall ✓ – ferdig.
3
Er tallet et partall (delelig på 2)? Ikke primtall (unntatt 2 selv). Del alltid på 2 først.
4
Test oddetall opp til kvadratroten Prøv 3, 5, 7, 9, 11 … opp til √n (rundet opp). Hvis ingen går opp uten rest → primtall.

Eksempel – Er 97 et primtall?
√97 ≈ 9,8 → tester 3, 5, 7, 9.
97 ÷ 3 = 32,3… ✗   97 ÷ 5 = 19,4… ✗   97 ÷ 7 = 13,8… ✗   97 ÷ 9 = 10,7… ✗
Ingen går opp → 97 er et primtall ✓

Eksempel – Er 91 et primtall?
91 ÷ 7 = 13 ✓ (ingen rest) → 91 = 7 × 13 → 91 er ikke et primtall ✗

Primtall og kryptografi – slik brukes de i praksis

Hvorfor primtall sikrer nettbanken din

Problemet: Det er enkelt å multiplisere to primtall. Men det er svært vanskelig å gjøre det omvendt – å finne hvilke primtall som ble multiplisert, bare ved å se på svaret.

Enkelt eksempel:
Ta to primtall: 11 og 13. Gang dem: 11 × 13 = 143.
Nå får noen bare se «143» – uten å vite faktorene. De må prøve: 143 ÷ 2? Nei. ÷ 3? Nei. ÷ 7? Nei. ÷ 11? Ja. Det tar tid.

I virkeligheten: RSA-kryptering bruker primtall med hundrevis av sifre. Et typisk tall kan være:
15 485 863 × 15 485 867 = 239 810 600 742 221
Å finne de to primtallsfaktorene fra et slikt produkt tar selv superdatamaskiner astronomisk lang tid.

Hva det betyr for deg: Hver gang du ser 🔒 i nettleseren (https), er det sannsynligvis primtallbasert kryptering (RSA eller lignende) som holder informasjonen din privat.

Finnes det uendelig mange primtall? (Euklids bevis)

Ja. Det viste Euklid allerede rundt 300 f.Kr. med et elegant bevis:

  1. Anta at listen over alle primtall er endelig: p₁, p₂, …, pₙ
  2. Lag et nytt tall: N = (p₁ × p₂ × … × pₙ) + 1
  3. N deles enten ikke på noen av primtallene på listen (rest = 1 alltid) → N er selv et nytt primtall
  4. Eller N har en primtallsfaktor som ikke var på listen

I begge tilfeller finner vi et primtall utenfor den «fullstendige» listen → listen kan aldri være fullstendig.

Eratosthenes’ sil – finn alle primtall systematisk

En enkel metode fra antikkens Hellas (ca. 276–194 f.Kr.):

  1. Skriv opp alle tall fra 2 til det du vil sjekke opp til
  2. Start med 2: stryk ut alle multipler av 2 (4, 6, 8, …)
  3. Gå til 3: stryk ut alle multipler av 3 (6, 9, 12, …)
  4. Neste gjenværende er 5: stryk ut 10, 15, 20 …
  5. Fortsett til du er over kvadratroten av makstallet
  6. Det som gjenstår uten strek, er alle primtall

Metoden brukes fortsatt i moderne informatikk for å generere primtallslister effektivt.

Øvelser

Øvelse 1 – Er det et primtall?

Avgjør om hvert tall er et primtall eller ikke, og forklar kort:

  1. 29
  2. 33
  3. 49
  4. 51
  5. 67
  1. 29 – JA ✓ (√29 ≈ 5,4 → tester 3, 5. Ingen deler 29 uten rest.)
  2. 33 – NEI ✗ (33 = 3 × 11)
  3. 49 – NEI ✗ (49 = 7 × 7)
  4. 51 – NEI ✗ (51 = 3 × 17)
  5. 67 – JA ✓ (√67 ≈ 8,2 → tester 3, 5, 7. Ingen deler 67 uten rest.)

Øvelse 2 – Primtallsfaktorisering

Skriv hvert tall som et produkt av primtall:

  1. 18
  2. 45
  3. 84
  4. 100
  5. 210
  1. 18 = 2 × 3 × 3
  2. 45 = 3 × 3 × 5
  3. 84 = 2 × 2 × 3 × 7
  4. 100 = 2 × 2 × 5 × 5
  5. 210 = 2 × 3 × 5 × 7

Øvelse 3 – Finn alle primtall i intervallet

List opp alle primtall mellom 50 og 80:

  1. 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79 – i alt 7 primtall.

Øvelse 4 – Tvillingprimtall

Tvillingprimtall er primtallspar med differanse 2 (f.eks. 11 og 13). Finn alle tvillingprimtallspar under 50:

  1. (3, 5) · (5, 7) · (11, 13) · (17, 19) · (29, 31) · (41, 43)

Øvelse 5 – Sann eller usann?

  1. Alle oddetall er primtall.
  2. 2 er det eneste partallsprimtallet.
  3. Alle primtall over 5 slutter på 1, 3, 7 eller 9.
  4. Det finnes et høyeste primtall.
  5. 9 er et primtall.
  1. Usann – 9 = 3 × 3, 15 = 3 × 5 osv.
  2. Sann – alle andre partall er delelig med 2.
  3. Sann – andre sifre ville gjøre dem delelig med 2 eller 5.
  4. Usann – Euklid viste det finnes uendelig mange (ca. 300 f.Kr.).
  5. Usann – 9 = 3 × 3 er et sammensatt tall.

Oppsummert

Et primtall er et naturlig tall > 1 med nøyaktig to divisorer: 1 og seg selv. Det finnes 25 primtall under 100. Det finnes uendelig mange primtall (Euklid, ca. 300 f.Kr.).

For å sjekke: test delbarhet med oddetall opp til kvadratroten av tallet. 91 = 7 × 13 (ikke primtall). 97 er primtall (ingen faktorer under √97 ≈ 9,8).

Primtall er grunnlaget for RSA-kryptering – det 🔒 i nettleseren din bygger på at store tall er umulige å faktorisere raskt.

Primtall er et grunnleggende begrep i matematikk. De skiller seg fra vanlige sammensatte tall fordi de bare kan deles på 1 og seg selv uten rest.

Et primtall er et heltall større enn 1 som bare kan deles på 1 og seg selv.
Nei. 1 regnes ikke som primtall fordi det bare har én positiv divisor.
Primtall brukes blant annet i tallteori, kryptering og matematisk problemløsing.
Lars Eriksen
Latest posts by Lars Eriksen (see all)

Stikkord :

Ingen stikkord ble funnet for denne artikkelen.

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *

Lignende artikler